Problèmes de probabilités et statistiques

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Nolendur
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Nolendur » dim. juin 23, 2019 11:16 am

GCM a écrit :
dim. juin 23, 2019 11:11 am
Kandjar a écrit :
dim. juin 23, 2019 8:54 am
À froid je dirais 30 : 12+10+8+6+4

Et à chaud?

Oui, c'est ça. Si tu veux avoir plus de détails ça rejoint exactement la conversation de la page précédente. Le nombre de jets "moyen" pour obtenir un 1 sur un d12 c'est 12, parce que la probabilité est 1/12. Pour 1d10 c'est 10 jets, etc. Voir page précédente.

EDIT: à un détail près : 12+10+8+6+4 = 40 ! ;)
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GCM
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par GCM » dim. juin 23, 2019 11:35 am

Merci à vous deux.
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philippe_j
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par philippe_j » dim. juin 23, 2019 2:33 pm

Bah tu devrais remonter un peu le fil vu que c'est la même question que Sammael a posé, à part que chez lui le seuil de réduction du dé était à 3, pas 1.
Mais déjà tu peux calculer facilement le pire cas : (1/12 x 1/10 x 1/8 x 1/6 x 1/4 ) chances de ne faire que 5 lancers, chacun catastrophique.
Après je ne crois pas qu'on puisse vraiment dire combien de tours en moyenne on va durer (je veux bien qu'on me corrige sur ce point, au passage!) par contre on peut estimer qu'elle est la chance de ne pas réduire le dé pour X tours.
Par exemple : pour 10 tours, la chance de garder ton d12 est de (11/12)^10

Le problème qui me semble compliqué avec ce système c'est que pour calculer des probas, il faut savoir quel dé on lance, et ça, ça peut changer de diverses manières.
Exemple simple : pour trois lancers, on peut avoir au mieux d12, d12, d12. Au pire : d12, d10, d8.
Et ça ne fait qu'empirer avec le nombre de lancers. Je serais bien curieux d'avoir l'avis de gens plus doués sur ce sujet :)
- Philippe -
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Cedh
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Cedh » lun. juin 24, 2019 10:11 am

GCM a écrit :
dim. juin 23, 2019 11:11 am
Kandjar a écrit :
dim. juin 23, 2019 8:54 am
À froid je dirais 30 : 12+10+8+6+4

Et à chaud?
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GCM
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par GCM » lun. juin 24, 2019 11:01 am

:D
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Pilgrim
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Pilgrim » lun. juil. 01, 2019 11:55 pm

Nolendur a écrit :
dim. juin 23, 2019 11:16 am
GCM a écrit :
dim. juin 23, 2019 11:11 am
Kandjar a écrit :
dim. juin 23, 2019 8:54 am
À froid je dirais 30 : 12+10+8+6+4

Et à chaud?

Oui, c'est ça. Si tu veux avoir plus de détails ça rejoint exactement la conversation de la page précédente. Le nombre de jets "moyen" pour obtenir un 1 sur un d12 c'est 12, parce que la probabilité est 1/12. Pour 1d10 c'est 10 jets, etc. Voir page précédente.

EDIT: à un détail près : 12+10+8+6+4 = 40 ! ;)
Ca fait un petit moment que je lurke sur ce forum, en particulier dans la partie technique et création, et je me suis finalement décidé à m'inscrire parce que tout ça m'intéresse fortement :)

Je rebondis sur ce message, car le calcul me semble un peu plus complexe que ça, 40 jets serait le nombre de jets maximum, en partant du principe qu'un 1 serait systématiquement obtenu après avoir épuisé toutes les faces de chaque dé. Dans les faits c'est probablement beaucoup plus complexe que ça (par exemple, on ne doit pas exclure qu'il peut falloir bien plus que 12 tirages pour obtenir un 1). Pour déterminer précisément le nombre de jets moyens, il faudrait probablement le simuler sous R (ou autre logiciel stat).

Par exemple, rien que pour le premier tirage, si l'on demande à une personne de jeter un dé 12 autant de fois que nécessaire jusqu'à obtenir un 1, que l'on répète ce procédé un grand nombre de fois (disons 1000) et que l'on regarde la distribution du nombre de tirages, il est probable qu'elle soit approximativement centrée autour de la valeur médiane du dé (donc 6.5 pour un dé 12). Sur cette base, il faudrait donc, en moyenne, 6.5 tirages pour obtenir un 1 sur un dé 12. Le même raisonnement s'applique ensuite pour chaque dé suivant. Le nombre moyen de tirages pour passer d'un D12 à 1D4 à la condition d'obtenir un 1 sur chaque dé devrait - si je ne me plante pas - pouvoir être approximé par 6,5+5,5+4,5+3,5+2,5=22,5 tirages, sachant que la dispersion autour de cette valeur doit être gigantesque.

Dans les faits ça me semble tout de même un (gros) poil plus complexe que ça : par exemple, le fait que les distributions associées aux tirages ne soient pas gaussiennes complique pas mal l'estimation mathématique du nombre moyen de tirages nécessaires à obtenir un 1.



 

Ravortel
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Ravortel » mar. juil. 02, 2019 12:50 am

Et bien, pourtant ce calcul est rigoureusement exact. L’espérance pour obtenir n’importe quelle valeur d’un dé est 1/(nombre de faces). En jetant 10000 d12, il faudrait en moyenne 12 déversement de ta benne de dés pour qu’ils aient tous fait 1 une fois.

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dreamofrlyeh
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par dreamofrlyeh » mar. juil. 02, 2019 1:03 am

Pour préciser les mathématiques qui vont avec tout ça:

Si je note X le nombre de tirages nécessaire pour obtenir le premier "1" sur 1d12, alors X suit une loi géométrique de paramètre 1/12, dont l'espérance (la moyenne) vaut 12.

Pilgrim
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Pilgrim » mar. juil. 02, 2019 12:05 pm

@Ravortel et @Dream : effectivement vous avez raison, j'ai abordé le problème sous le mauvais angle.

Mon erreur a été de m'intéresser à la médiane de la distribution des tirages plutôt qu'à leur moyenne. La distribution suivant une loi géométrique, la moyenne des tirages est fortement entachée par les "outliers" : par exemple, avec 1D6, il y a une bonne proportion de séries ou il faudra bien plus de 6 tirages pour obtenir un 1, et la moyenne est à 6 (en revanche, il faut environ 4 tirages pour avoir 50% de chances de faire un 1).

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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Ravortel » mar. juil. 02, 2019 12:54 pm

Effectivement.
Tirer 1 au premier jet : p=1/6, env 17%
Au second jet : p=5/6*1/6=5/36, env 14% (cumul 31%)
Au troisième jet : p=5/6*5/6/1/6=25/216, env 12% (cumul 42%)
Au quatrième jet : p=(5*5*5*1)/(6*6*6*6)=125/1296, env 10% (cumul 52%)
Au cinquième et plus : p=1-1/6-5/36-25/216-125/1296=1-(216+180+150+125)/1296=625/1296, env. 48%.

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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Pilgrim » mar. juil. 02, 2019 7:16 pm

D'un point de vue "rolistique" la moyenne du nombre de tirages nécessaires pour obtenir un 1 est finalement peu informative.

L'explication est simple : la distribution du nombre de tirages et asymétrique avec un queue traînante tendant vers l'infini. Par exemple, si on considère 1D6 (mais le raisonnement est valable pour n'importe quel dé) 50% du temps, obtenir un 1 nécessitera un nombre de tirage inférieur ou égal à 4, et 50% du temps, un nombre de tirages compris entre 5 et l'infini (car oui, on peut tout à fait imaginer une série théorique de tirages ou un joueur n'obtiendrait jamais un 1). On comprend bien que le calcul de la moyenne du nombre de tirages sera fortement entaché d'une "erreur" provenant des valeurs extrêmes de la distribution.

Dit autrement, la moyenne est généralement un mauvais estimateur de centre des distributions asymétriques, et on lui préférera la médiane, moins sensible aux "outliers", et donc plus informative, en particulier lorsqu'il s'agit d'estimer les chances qu'un évènement se produise.

Du coup j'ai rapidement été voir sur R les résultats associés à la question initiale : il faut effectivement en moyenne 40 tirages pour passer d'un D12 à un D4 à chaque fois que l'on obtient un "1". Par contre, dans 50% des cas, on passe d'un D12 à un D4 en 37 tirages ou moins (et dans 60% des cas en 40 tirages ou moins).

On voit donc bien que, dans ce cas, la moyenne, même si elle est mathématiquement exacte, ne reflète pas tout à fait la réalité du nombre de tirages nécessaires pour atteindre le résultat souhaité.

Rextherunt
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Rextherunt » mar. juil. 02, 2019 9:22 pm

Pilgrim a écrit :
mar. juil. 02, 2019 7:16 pm
D'un point de vue "rolistique" la moyenne du nombre de tirages nécessaires pour obtenir un 1 est finalement peu informative.

L'explication est simple : la distribution du nombre de tirages et asymétrique avec un queue traînante tendant vers l'infini. Par exemple, si on considère 1D6 (mais le raisonnement est valable pour n'importe quel dé) 50% du temps, obtenir un 1 nécessitera un nombre de tirage inférieur ou égal à 4, et 50% du temps, un nombre de tirages compris entre 5 et l'infini (car oui, on peut tout à fait imaginer une série théorique de tirages ou un joueur n'obtiendrait jamais un 1). On comprend bien que le calcul de la moyenne du nombre de tirages sera fortement entaché d'une "erreur" provenant des valeurs extrêmes de la distribution.

Dit autrement, la moyenne est généralement un mauvais estimateur de centre des distributions asymétriques, et on lui préférera la médiane, moins sensible aux "outliers", et donc plus informative, en particulier lorsqu'il s'agit d'estimer les chances qu'un évènement se produise.

Du coup j'ai rapidement été voir sur R les résultats associés à la question initiale : il faut effectivement en moyenne 40 tirages pour passer d'un D12 à un D4 à chaque fois que l'on obtient un "1". Par contre, dans 50% des cas, on passe d'un D12 à un D4 en 37 tirages ou moins (et dans 60% des cas en 40 tirages ou moins).

On voit donc bien que, dans ce cas, la moyenne, même si elle est mathématiquement exacte, ne reflète pas tout à fait la réalité du nombre de tirages nécessaires pour atteindre le résultat souhaité.
Bon je ne suis pas passé par R, un peu trop complexe à mon goût (même si Excel n'est pas la panacée), mais je trouve des résultats proches avec le code suivant :

Code : Tout sélectionner

Dim somme(174) As Double
' Dim nombre_possible(174) As Double
Sub Macro1()
'
' Macro1 Macro
'
For f = 5 To 174
somme(f) = 0
' nombre_possible(f) = 0
Next f
For a = 1 To 53
    For b = 1 To 44
        For c = 1 To 35
            For d = 1 To 26
                For e = 1 To 16
                    ' les chiffres choisis pour les boucles correspondent à 99% de chance de changer de dé, c'est à dire d'obtenir un 1 sur ce dé
                    ' par exemple : sur 26 lancers d'1D6, on a 99% de chance d'obtenir un 1
                    ' on simplifie la formule :
                    ' normalement pour un dé 12, on a la probabilité de changer de dé à un nombre "a" de lancé = 1/12*(11/12)^(a-1)
                    ' or 1/12*(11/12)^(a-1) = 1/12*(11/12)^a*12/11 soit 1/11*(11/12)^a
                    ' on fait la même chose pour chaque dé
                    ' on regroupe 1/11 , 1/9 , 1/7, 1/5, 1/3 et on obtient 1/(11*9*7*5*3) = 1/10395
                    ' nombre_possible(a + b + c + d + e) = nombre_possible(a + b + c + d + e) + 1
                    somme(a + b + c + d + e) = somme(a + b + c + d + e) + (((11 / 12) ^ a * (9 / 10) ^ b * (7 / 8) ^ c * (5 / 6) ^ d * (3 / 4) ^ e) / (10395))
                Next e
            Next d
        Next c
    Next b
Next a
For f = 5 To 174
Sheets(2).Cells(f, 1) = f
' Sheets(2).Cells(f, 2) = nombre_possible(f)
Sheets(2).Cells(f, 2) = somme(f)
Next f
'
End Sub
Dans le programme ci-dessus on calcule toutes les combinaisons pour obtenir 1 sur 1D4 au bout de (a+b+c+d+e) lancers de dés à partir d'1D12.
Je serais curieux de connaitre le code en R qui est peut-être plus élégant. Comme je ne suis pas très pédagogue, j'espère que les commentaires dans le code sont suffisants.

 

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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Pilgrim » mar. juil. 02, 2019 11:29 pm

Hello, je poste le code ci-dessous, absolument pas élégant, je l'ai fait à la brute en copiant/collant le bloc de programme pour générer les tirages de chaque dé (D12, D10 etc...).

Normalement c'est assez simple pour être compréhensible sous cette forme, mais s'il faut expliciter la logique je ferais une version plus lisible.
 Seq=vector(mode="numeric", length=0)
Tirage=vector(mode="numeric", length=0)

for (p in 1:10000){
for (n in 1:100){
x=sample(1:12,1)
Seq=c(Seq,x)
if (x==1) {break}}

 
for (n in 1:100){
x=sample(1:10,1)
Seq=c(Seq,x)
if (x==1) {break}}

for (n in 1:100){
x=sample(1:8,1)
Seq=c(Seq,x)
if (x==1) {break}}

for (n in 1:100){
x=sample(1:6,1)
Seq=c(Seq,x)
if (x==1) {break}}

for (n in 1:100){
x=sample(1:4,1)
Seq=c(Seq,x)
if (x==1) {break}}

Tirage=c(Tirage,length(Seq))
Seq=vector(mode="numeric", length=0)}


mean(Tirage)
median(Tirage)

quantile(Tirage, probs = seq(0, 1, 0.1))

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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par GCM » lun. juil. 15, 2019 11:52 pm

:runaway
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Vorghyrn
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Re: Problèmes de probabilités et statistiques

Message par Vorghyrn » mar. juil. 16, 2019 9:03 am

L’opérateur = pour l’affectation en R c’est le Mal 😈
Mes CR solos en cours :

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