Problèmes de probabilités et statistiques

[Sammael99]

Pour les statisticiens d'ici, j'ai une question (assez simple) qui sera suivie, peut-être (pour un autre projet) d'une question plus complexe.

La question simple concerne les statistiques des dés d'usage de Macchatio Monsters.

Un dé d'usage c'est un dé (entre d4 et d12) qui diminue d'un cran chaque fois qu'il est lancé et que le résultat donne 1-3. Si le résultat est strictement supérieur à 3, il reste à son cran actuel.

Ce que j'aimerais savoir c'est le nombre moyen de jets qu'il faut effectuer pour que le dé disparaisse (quand un d4 fait 1-3).

Je crois savoir comment calculer les statistiques, mais je ne sais pas comment les traduire en nombre moyen de jets.

Accessoirement (mais c'est moins important) j'aimerais bien savoir l'espérance de résultat total pour chaque dé.

[morgalel]

Le nombre moyen de lancers ça devrait pouvoir se traduire en :

(12/3) + (10/3) + (8/3) + (6/3) + (4/3) = 40/3 ~ 13.33 pour 1d12

[Mugen]

Le nombre moyen de lancers ça devrait pouvoir se traduire en :

(12/3) + (10/3) + (8/3) + (6/3) + (4/3) = 40/3 ~ 13.33 pour 1d12

Oui.
Le nombre moyen de tirages nécessaires pour qu'un événement avec une probabilité p se produise est tout simplement égal à 1/p.

Accessoirement (mais c'est moins important) j'aimerais bien savoir l'espérance de résultat total pour chaque dé.

Gloups...
Alors en fait, il faudrait prendre un raisonnement similaire à celui qui a permis d'avoir le nombre moyen ci-dessus.

En gros, ce nombre d'essais moyen, c'est la limite quand n tend vers l'infini de la moyenne de n*[(1-p)^(n-1)]*p.
En effet, p*[(1-p)^(n-1)] c'est la proba que l'événement se produise après qu'il ne se soit pas produit n fois.

Pour avoir l'espérance, il suffirait donc en théorie de pondérer le "(1-p)" par l'espérance d'un dé > 3 (soit 4 pour un d4, 5 pour un d6, 6 pour un d8, 7 pour un d10 et 8 pour un d12) et le p par l'espérance d'un dé <4 (ça, c'est simple : c'est 2).

Donc pour 1d12, par exemple l'espérance c'est la moyenne quand n tend vers l'infini de n*[(8*(9/12))^(n-1)]*(2*3/12).

Mais autant pour le nombre d'essais je sais retomber sur mes pieds parce que c'est un résultat connu, autant pour l'espérance non...

[morgalel]

Je me demande si ça pourrait pas donner un truc du genre
nombre d'essais moyen * résultat moyen

(12/3) * 6.5 + (10/3) * 5.5 + (8/3) * 4.5 + (6/3) * 3.5 + (4/3) * 2.5 = (156 + 110 + 72 + 42 + 20 ) /6 = 400 / 6 ~ 66.67

?

[Nolendur]

Le nombre moyen de lancers ça devrait pouvoir se traduire en :

(12/3) + (10/3) + (8/3) + (6/3) + (4/3) = 40/3 ~ 13.33 pour 1d12

Oui.
Le nombre moyen de tirages nécessaires pour qu'un événement avec une probabilité p se produise est tout simplement égal à 1/p.

Accessoirement (mais c'est moins important) j'aimerais bien savoir l'espérance de résultat total pour chaque dé.

Gloups...
Alors en fait, il faudrait prendre un raisonnement similaire à celui qui a permis d'avoir le nombre moyen ci-dessus.

En gros, ce nombre d'essais moyen, c'est la limite quand n tend vers l'infini de la moyenne de n*[(1-p)^(n-1)]*p.
En effet, p*[(1-p)^(n-1)] c'est la proba que l'événement se produise après qu'il ne se soit pas produit n fois.

Pour avoir l'espérance, il suffirait donc en théorie de pondérer le "(1-p)" par l'espérance d'un dé > 3 (soit 4 pour un d4, 5 pour un d6, 6 pour un d8, 7 pour un d10 et 8 pour un d12) et le p par l'espérance d'un dé <4 (ça, c'est simple : c'est 2).

Donc pour 1d12, par exemple l'espérance c'est la moyenne quand n tend vers l'infini de n*[(8*(9/12))^(n-1)]*(2*3/12).

Mais autant pour le nombre d'essais je sais retomber sur mes pieds parce que c'est un résultat connu, autant pour l'espérance non...

Je me demande (et je suis très loin d'y croire vraiment, mais bon) si on ne pourrait pas simplifier le problème en considérant que quel que soit la configuration du tirage, il y a une chose qui est toujours vraie : le dernier tirage d'un dé (avant sa rétrogradation) a toujours une espérance de 2.
Du coup, l'espérance pourrait être :
pour la phase 1d12 : 1x2 + ((12/3)-1)x8 = 2 + 3x8 = 26
pour la phase 1d10 : 1x2 + ((10/3)-1)x7 = 2 + 2,33x7 = 18,33
pour la phase 1d8 : 1x2 + ((8/3)-1)x6 = 2 + 1,66x6 = 12
etc.

[morgalel]

J'ai fait un petit programme crado pour faire une évaluation empirique du truc, je retombe sur 66.67.

[Nolendur]

J'ai fait un petit programme crado pour faire une évaluation empirique du truc, je retombe sur 66.67.

Une évaluation de la simplification que je donne, ou d'une autre méthode ?

EDIT : je demande ça parce que ma méthode donne pile 66,66.

EDIT 2 : bon, en creusant un peu les formules, je me rends compte que c'est parfaitement normal que l'on trouve le même résultat. Par contre, ça ne répond pas à la question de savoir si ce raisonnement est légitime.

[morgalel]

Non j'ai tenté une évaluation empirique du problème : le programme simule le cycle de vie d'1d12, le relance jusqu'à disparition en faisant la somme des scores obtenus (et répète l'opération un grand nombre de fois pour faire une moyenne).

[Nolendur]

Non j'ai tenté une évaluation empirique du problème : le programme simule le cycle de vie d'1d12, le relance jusqu'à disparition en faisant la somme des scores obtenus (et répète l'opération un grand nombre de fois pour faire une moyenne).

Ah ben c'est cool. Ça veut dire que notre raisonnement n'est pas trop barré.

[Mugen]

Non j'ai tenté une évaluation empirique du problème : le programme simule le cycle de vie d'1d12, le relance jusqu'à disparition en faisant la somme des scores obtenus (et répète l'opération un grand nombre de fois pour faire une moyenne).

Ah ben c'est cool. Ça veut dire que notre raisonnement n'est pas trop barré.

Hum...
C'est sans doute alors que je tiens trop à avoir un truc prouvé mathématiquement...

[Nolendur]

Non j'ai tenté une évaluation empirique du problème : le programme simule le cycle de vie d'1d12, le relance jusqu'à disparition en faisant la somme des scores obtenus (et répète l'opération un grand nombre de fois pour faire une moyenne).

Ah ben c'est cool. Ça veut dire que notre raisonnement n'est pas trop barré.

Hum...
C'est sans doute alors que je tiens trop à avoir un truc prouvé mathématiquement...

C'est sûr qu'en probas ou statistiques, se fier à son intuition c'est le meilleur moyen d'aller dans le mur. Les êtres humains sont par construction des billes en probas. C'est pour ça que je n'y croyait pas trop et que j'ai été très agréablement surpris de voir que pour une fois le raisonnement intuitif n'était pas tombé trop loin.

[morgalel]

Idem, je doute d'ailleurs fort que mon raisonnement soit formellement exact.

[philippe_j]

J'ai essayé de faire un petit programme pour retranscrire le système : ici
Pardonnez la syntaxe barbare, mais l'idée ici est d'utiliser le concept de dé explosif, et comme on s'intéresse à savoir combien on peut faire de lancers au maximum, j'ai remplacé les valeurs des faces par simplement 0 et 1, en quantités proportionelles pour ce qui nous intéresse.

C'est une technique que j'utilise à chaque fois qu'il y a un système avec pools de dés et qu'on s'intéresse à combien de dés ont réussi. Par exemple à WoD, je lance des d{0:7,1:3} (réussite pour 8+ sur un d10).

Là c'est la même idée, si je fais 3 ou moins, c'est un 0, et je diminue la taille du dé (je fais d12 -> d10 -> d8 -> d6 -> d4, si j'ai bien compris)
Donc le graph', si j'ai bien analysé (je suis complètement épuisé, donc n'hésitez pas à corriger!), représente la profondeur maximum qu'on arrive à atteindre au bout de X lancés; X étant la profondeur de récursion maximum (on pourrait peut-être remplacer par une boucle, je suis pas sûr).

C'est à dire, au bout de X dés, si j'ai 0, c'est que je suis tombé de dé en dé jusqu'au d4 puis disparition, sans jamais faire au dessus de 3.
1, c'est que j'ai fais 1 lancé au dessus de 3, à un moment donné, puis que des échecs, etc.
En théorie donc, pour X lancers, on devrait potentiellement atteindre X maximum, qui représente un lancer de d12 10 fois sans jamais faire 3 ou moins. Ce qui est normalement dans les 5% de chance (9 /12) ^ 10.

Curieusement mon programme refuse de dépasser 5, donc je sais pas trop...
Je vais y réfléchir demain à tête reposée. La syntaxe d'Anydice est toujours aussi imbitable, et pourtant je suis de ces gens qui aiment les regexp...

[Chewba]

est-ce qu'il est possible de faie une requete anydce inversée: je souhaite trouver a partir de combien de dés on obtient 66,6% de réussite sur XDY face à une valeur Z fixe.
Autre variante: est-ce qu'il y a une requête pour connaître la valeur de Z "idéale". Par exemple: "A quelle valeur de Z obtient-on 66,6% pourcent de chances d'avoir au moins un dé >Z sur 3d12?"
 

[GB Steve]

J'ai fait un petit test avec R. Sur 100,000 essais:
- l'esperance du total est 66.73797
- l'esperance des jets est 13.34376
Sur 1,000,000 ca revient a 66.67678 et 13.33404.

C'est pas le code le plus efficace. Ca prend 450.1Mb pour la liste de 1,000,000 resultats.

 

Code : Tout sélectionner

 
# Libraries ---------------------------------------------------------------
library(tidyverse)

# Dé -------------------------------------------------------------
roll <- function(x) {
  floor(runif(1)*x+1)
}

# Taille de dés --------------------------------------------------------------
dice <- c(12,10,8,6,4)


# Simulation  --------------------------------------------------------------
test <- function(){
n <- 1
total <- 0
count <- 0
while(n<6){
  result <- roll(dice[n])
  count <- count+1
  total <- total+result
  if(result<4) n=n+1
}
list(n=count,total=total)
}

# Resultats -----------------------------------------------------------------
output <- list()
essais <- 100000

for(i in 1:essais) output[[i]] <- test()

# Esperance total
output %>% 
  map("total") %>% 
  unlist() %>% 
  mean()

# Esperance jets
output %>% 
  map("n") %>% 
  unlist() %>% 
  mean()