Problèmes de probabilités et statistiques

[Kenji]

Bonjour à tous,
Une petite question pour les pros des probas, très utile pour les amateurs de wargames: existe-t-il une formule pour aider à choisir quelle unité doit subir un pas de perte, pour déterminer le choix le plus efficace d'un point de vue statistique ?
Je précise avec un exemple: j'ai deux unités qui disposent chacune d'une capacité de combat de 4+ (elles touchent leur cible sur un jet de dé à dix faces de 4 et plus). leur pile subit deux pas de perte. Vaut-il mieux les assigner à une seule unité (je passe donc de deux unités à 4% à une unité à 4+ et une unité à 6+) ou privilégier une répartition équilibrée (un pas de perte chacun, donc des unités toutes deux à 5+) ?
Dites moi si je suis pas clair.
 

[Erestor]

A priori, une répartition équilibrée maximise les chances que les deux touchent (x.y) mais minimisent les chances qu'au moins une des deux touchent (1 - (1-x)(1-y)).
Dans ton exemple tu as 36% de chance de toucher avec les 2 unités à 5+, et 35% avec les unités à 4+ et 6+.
Par contre tu as 84% de chances qu'au moins une des deux touchent contre 85% dans le deuxième cas.
Ça répond au problème ?

[Kenji]

Merci beaucoup Erestor.
Désolé de passer encore plus pour un béotien (j'ai fait un bac A2, c'est dire, pour ceux qui s'en souviennent !), mais tu utilises quelle formule pour calculer ces pourcentages ?

[Erestor]

Celles indiquées : x la probabilité de l'unité 1 de toucher y celle de l'unité 2. Si tu es à 5+ tu as 60% de chance de toucher avec une unité donc 0,6² pour que les deux touchent (x.y) doit 36%. Dans le deuxième cas 50% et 70% soit 0,5x0,7 = 35%.

Pour la chance de toucher avec au moins une unité c'est l'inverse (Soit 1-...) de toucher avec aucune (1-x)(1-y) donc 1-(1-x)(1-y) d'où le 35% et le 84%.

Vlà.

[Kenji]

Super, c'est exactement ce que je cherchais, merci beaucoup !

[Ramentu]

Bonjour à tous,
Une petite question pour les pros des probas, très utile pour les amateurs de wargames: existe-t-il une formule pour aider à choisir quelle unité doit subir un pas de perte, pour déterminer le choix le plus efficace d'un point de vue statistique ?
Je précise avec un exemple: j'ai deux unités qui disposent chacune d'une capacité de combat de 4+ (elles touchent leur cible sur un jet de dé à dix faces de 4 et plus). leur pile subit deux pas de perte. Vaut-il mieux les assigner à une seule unité (je passe donc de deux unités à 4% à une unité à 4+ et une unité à 6+) ou privilégier une répartition équilibrée (un pas de perte chacun, donc des unités toutes deux à 5+) ?
Dites moi si je suis pas clair.

En supposant que les attaques soient équivalentes (une touche = une touche, peut importe la capacité de combat) et indépendante (le succès d'une unité n'influe pas sur celui de l'autre), je pense que la différence est minime (sauf si erreur).

Si le dé va de 1 à 10.
Dans le cas 1, tu auras 70% de chance de passer une attaque et 50% de passer l'autre.
35% de faire 2 touches, 50% de faire une touche, 15% de ne faire aucune touche

Dans le cas 2, tu auras 60% de chance de passer une attaque et 60% de passer l'autre.
36% de faire 2 touches, 48% de faire une touche, 16% de ne faire aucune touche

Si le dé va de 0 à 9.

Dans le cas 1, tu auras 60% de chance de passer une attaque et 40% de passer l'autre.
24% de faire 2 touches, 52% de faire une touche, 24% de ne faire aucune touche

Dans le cas 2, tu auras 50% de chance de passer une attaque et 50% de passer l'autre.
25% de faire 2 touches, 50% de faire une touche, 25% de ne faire aucune touche

[Kenji]

Et

Kenji a écrit : ↑lun. mai 15, 2023 3:30 pmBonjour à tous,
Une petite question pour les pros des probas, très utile pour les amateurs de wargames: existe-t-il une formule pour aider à choisir quelle unité doit subir un pas de perte, pour déterminer le choix le plus efficace d'un point de vue statistique ?
Je précise avec un exemple: j'ai deux unités qui disposent chacune d'une capacité de combat de 4+ (elles touchent leur cible sur un jet de dé à dix faces de 4 et plus). leur pile subit deux pas de perte. Vaut-il mieux les assigner à une seule unité (je passe donc de deux unités à 4% à une unité à 4+ et une unité à 6+) ou privilégier une répartition équilibrée (un pas de perte chacun, donc des unités toutes deux à 5+) ?
Dites moi si je suis pas clair.

je suis tellement un boulet que j'ai écrit dé à dix faces au lieu de dé à six faces...
mais je retiens que la différence est minime

[Erestor]

Arf ça m'étonnait aussi pour un wargame !
Alors on refait le calcul
Cas A : 5+ proba de toucher 1/3
Cas B : 4+ et 6+ probas de toucher 1/2 et 1/6.

Cas A : les deux unités touchent : chance 11,1%
Chance qu'au moins une unité touche : 55,5%

Cas B : les deux unités touchent : chance 8,3%
Chance qu'au moins une unité touche : 58,3%

Bref, l'option est claire : si tu réduis de façon homogène, tu privilégie les gros dégâts mais avec un risque de ne rien faire du tout ; si tu réduis de façon hétérogène, tu privilégies la constance au dépend des gros dégâts.

Après la question 2,8% de différence, est-ce que c'est suffisamment important ? Sur l'ensemble des jets de dés et sur plus que 2 unités, j'imagine que ça peut dessiner un semblant de tendance.

[Mugen]

Après la question 2,8% de différence, est-ce que c'est suffisamment important ? Sur l'ensemble des jets de dés et sur plus que 2 unités, j'imagine que ça peut dessiner un semblant de tendance.

En réalité, il n'y a pas de différence sur une grande série de jets.

Pour connaître l'espérance du nombre de touches faites par ces 2 unités, il faut faire :

E = P1x1 + P2x2.

Où P1 est la chance de ne faire qu'une seule touche, et P2 la chance de faire 2 touches.
Si l'on reformule en utilsant P1', la chance de faire au moins une touche, plutôt que P1,on obtient :

E = (P1'-P2) x1 + P2x2.

En effet, P1' = P1 + P2

Au final : E = P1' + P2.

Soit, dans les 2 cas :

E = 0,555+0,111 = 0,666
E = 0,583+0,083 = 0,666

[Erestor]

@Mugen
Certes le nombre de touches est identique, ma phrase était mal formulée et faisait dire autre chose que ce que je voulais souligner. En gros, la différence que l'on note est une différence de répartition pas de nombre de touches totales (ce que l'on voyait déjà puisque tu gagnes d'un côté exactement ce que tu perds de l'autre) mais justement cette différence de répartition peut avoir un impact en terme de jeu s'il faut mieux faire beaucoup de dégâts d'un coup ou s'il vaut mieux en distribuer régulièrement.
En gros si tu as un seuil à dépasser pour détruire un objectif alors lisser les pertes pourrait être plus efficace, à l'inverse, d'autres effets de règles pourraient favoriser l'autre tactique. MAIS la différence étant faible entre les deux répartitions, je me disais qu'elle n'était à considérer que sur un grand nombre d'unités. Encore une fois que si les règles impliquent un intérêt à ce genre de choix.

[Le Mink]

Petit question à laquelle j'ai du mal à répondre (et même identifier comment y répondre )...

Si je lance deux dés à 20 faces et un dé à 8 faces, qu'elles sont mes chances que les deux dés à 20 faces donnent tous les deux un résultat égal ou inférieur au résultat du dé à 8 faces?

Je sais déjà qu'il y a 0,25% de chances de faire deux 1 sur les d20. Ce sera donc mieux que cela

Mais à part ça, je ne visualise pas le calcul à réaliser....

[Ravortel]

Il faut décomposer les 8 possibilités du d8 :

d8 = 1 : une chance sur 20 pour chacun des d20, donc .05x.05 = 0.25%
d8 = 2 : 1-2 pour les 2d20, donc .1x.1 = 1.00%
d8 = 3 : 1-3 ... ... ... .15x.15 = 2.25%
d8 = 4 : 1-4 ... ... ... .20x.20 = 4.00%
d8 = 5 : 1-5 ... ... ... .25x.25 = 6.25%
d8 = 6 : 1-6 ... ... ... .30x.30 = 9.00%
d8 = 7 : 1-7 ... ... ... .35x.35 = 12.25%
d8 = 8 : 1-8 ... ... ... .40x.40 = 16.00%

Au final, pour tous les résultats possibles du d8, les d20 ont globalement 1/8 de probabilité de chacune : 1/8 x (somme des probas ci-dessous) = 6.38% d'être tous les deux inférieurs ou égaux.

[Nolendur]

Petit question à laquelle j'ai du mal à répondre (et même identifier comment y répondre )...

Si je lance deux dés à 20 faces et un dé à 8 faces, qu'elles sont mes chances que les deux dés à 20 faces donnent tous les deux un résultat égal ou inférieur au résultat du dé à 8 faces?

Je sais déjà qu'il y a 0,25% de chances de faire deux 1 sur les d20. Ce sera donc mieux que cela

Mais à part ça, je ne visualise pas le calcul à réaliser....

Si dans AnyDice, tu entres « output [highest 1 of 2d20] <= 1d8 », tu obtiens 6,38%

[cdang]

@Kenji : un bon moyen de comprendre ce type de probas est de faire un arbre de probabilités :

https://fr.wikibooks.org/wiki/Jeu_de_r% ... B4le#Arbre

[Le Mink]

Il faut décomposer les 8 possibilités du d8 :

d8 = 1 : une chance sur 20 pour chacun des d20, donc .05x.05 = 0.25%
d8 = 2 : 1-2 pour les 2d20, donc .1x.1 = 1.00%
d8 = 3 : 1-3 ... ... ... .15x.15 = 2.25%
d8 = 4 : 1-4 ... ... ... .20x.20 = 4.00%
d8 = 5 : 1-5 ... ... ... .25x.25 = 6.25%
d8 = 6 : 1-6 ... ... ... .30x.30 = 9.00%
d8 = 7 : 1-7 ... ... ... .35x.35 = 12.25%
d8 = 8 : 1-8 ... ... ... .40x.40 = 16.00%

Au final, pour tous les résultats possibles du d8, les d20 ont globalement 1/8 de probabilité de chacune : 1/8 x (somme des probas ci-dessous) = 6.38% d'être tous les deux inférieurs ou égaux.

Super, et en plus, j'ai compris!

@Nolendur , merci pour la formule dans anydice, j'ai pu rapidement voir la différence en fonction du dé utilisé.